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Cos'è teorema di de l'hopital?

Teorema di de l'Hôpital

Il Teorema di de l'Hôpital è uno strumento fondamentale del calcolo differenziale che permette di calcolare il limite di una funzione che si presenta in una forma indeterminata come 0/0 o ∞/∞. In sostanza, il teorema afferma che se il limite del rapporto delle derivate di due funzioni esiste, allora anche il limite del rapporto delle funzioni originali esiste e ha lo stesso valore.

Formalmente:

Siano f(x) e g(x) due funzioni derivabili in un intorno di c (escluso eventualmente c stesso), dove c può essere un numero reale o ±∞. Supponiamo che:

  1. lim_(x→c) f(x) = 0 e lim_(x→c) g(x) = 0 (forma indeterminata 0/0) oppure lim_(x→c) f(x) = ±∞ e lim_(x→c) g(x) = ±∞ (forma indeterminata ∞/∞)
  2. g'(x) ≠ 0 in un intorno di c (escluso eventualmente c stesso)
  3. Esiste lim_(x→c) f'(x) / g'(x) = L (dove L è un numero reale o ±∞)

Allora,

lim_(x→c) f(x) / g(x) = lim_(x→c) f'(x) / g'(x) = L

In parole povere:

Se hai un limite della forma 0/0 o ∞/∞, puoi derivare sia il numeratore che il denominatore separatamente e calcolare il limite del nuovo rapporto. Se questo nuovo limite esiste, è uguale al limite originale.

Condizioni di Applicabilità:

  • È cruciale che il limite sia nella forma indeterminata 0/0 o ∞/∞. Applicare il teorema a limiti in altre forme può portare a risultati errati.
  • Le funzioni devono essere derivabili nell'intorno considerato.
  • La derivata del denominatore non deve essere zero in un intorno del punto in esame (eccetto, eventualmente, nel punto stesso).
  • Il limite del rapporto delle derivate deve esistere (finito o infinito). Se non esiste, il teorema non è applicabile (ma ciò non significa necessariamente che il limite originale non esista).

Esempi di Forme Indeterminate Trattabili con de l'Hôpital:

Oltre a 0/0 e ∞/∞, il teorema di de l'Hôpital può essere applicato indirettamente a altre forme indeterminate trasformandole algebricamente in 0/0 o ∞/∞. Esempi comuni includono:

  • 0 ⋅ ∞: Trasformabile in 0/(1/∞) o ∞/(1/0)
  • ∞ - ∞: Trasformabile in un quoziente tramite denominatore comune.
  • 1<sup>∞</sup>, 0<sup>0</sup>, ∞<sup>0</sup>: Si utilizzano i logaritmi per trasformarle in forme del tipo 0 ⋅ ∞.

Osservazioni Importanti:

  • Non è la derivata di un quoziente! Si deriva il numeratore e il denominatore separatamente.
  • Il teorema può essere applicato ripetutamente, a condizione che le condizioni siano soddisfatte ad ogni passaggio.
  • Anche se il limite delle derivate non esiste, ciò non implica necessariamente che il limite originale non esista. In tali casi, sono necessarie altre tecniche per valutare il limite.

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